Jedan tip leptira godinama opčinjava profesoricu Svetlanu Žitomirskaju. To ju je djelomično nagnalo da se udubi u matematički problem koji je postavljen 1981. “Hofstadterov leptir je objekat jako prijatan za oči”, kaže. Radi se o grafičkoj vizualizaciji fraktalnog skupa koji igra bitnu ulogu u kvantnoj mehanici, a koju je sedamdesetih godina izradio naučnik Douglas Hofstadter. Ali nešto važnije ju je privuklo tom problemu: “neke značajne ideje” koje je ranije razvila u tom području. Uostalom, ističe, hipoteza “ima vrlo atraktivan naziv”.
Matematičarka je pomogla u rješavanju “problema deset martinija”, koji je dobio taj naziv nakon što je matematičar Mark Kac izjavio da će platiti deset martinija onome ko ga riješi. Kac nije mogao vrednovati njeno dostignuće. Umro je 1984, ali je njegov kolega Barry Simon dao naziv hipotezi i popularizirao je.
“Da li ste ikad pili martini?”, pitam istraživačicu, koja živi u Sjedinjenim Državama.
“Popijem koji, ali nevezano za taj problem”, kaže uz smijeh.
Ovo je priča o jednoj od najistaknutijih matematičarki današnjice, čiji su doprinosi matematičkoj fizici i dinamičkim sistemima stekli široko priznanje. Nedavno, u julu, dodijeljena joj je prva nagrada Olga Aleksandrovna Ladiženskaja, tokom zajedničke sesije dviju satelitskih konferencija Međunarodnog kongresa matematičara.
Među matematičarima
Žitomirskaja je rođena u Harkivu, Ukrajina, 1966. S divljenjem govori o majci, Valentini Borok, istaknutoj matematičarki koja je radila na parcijalnim diferencijalnim jednačinama i postala 1970. jedina univerzitetska profesorica matematike u Ukrajini.
“Bila je izimno briljantna i ja sam znala da joj nisam ravna”, kazuje. “U izvjesnom smislu, nisam mislila da ću imati uspjeha u matematici zato što je u to vrijeme bilo jako teško ženama. Bilo je jasno da moraš, pogotovo kao žena, jako stršiti, ali ne zbog diskriminacije, već zato što je, uprkos svoj toj komunističkoj propagandi o jednakosti žena, cijelo društvo bilo do krajnosti tradicionalno i očekivalo se da žene vode brigu o porodici i domaćinstvu. Mama mi je uvijek govorila da je porodica najvažnija.”
I premda joj je bila insipiracija, znala je da majka ne želi da se i kćerka zaputi u smjeru matematike. Otac, takođe matematičar, nije proturječio supruzi: “Roditelji su djelovali kao jedno. Kad sam bila mala, kao da su se trudili da me nekako odgovore od okretanja matematici zato što su mislili da je to preteško za jednu djevojčicu. Nedavno sam upitala oca zašto su obeshrabrivali mene, a ne mog brata, i on mi je rekao: ‘To je bila mamina ideja.’ Mislim da govori istinu, da je njena ideja bila da me usmjere prema drugim stvarima.”
Kao “čudo”
Žitomirskaja je voljela književnost i filologiju, ali za nju Sovjetski savez nije bio idealno mjesto za njegovanje te strasti budući da su te oblasti bile snažno prožete komunističkom ideologijom.
Onda se zaljubila u matematiku kada je počela da je dubinski proučava, “što se desilo tek kad sam se upisala na Moskovski državni univerzitet. Bio je to nevjerovatan ambijent za studenticu spremnu da upije sve i voljnu da mnogo uči. A moj upis bio je svojevrsno čudo zato što u biti nisu primali Jevreje.”
Jako dobro se pripremila za postupak prijema zato što se, kako tvrdi, jevrejske kandidate podvrgavalo znatno drugačijem tretmanu. “Davali su im iznimno teške probleme, koji su u osnovi bili nerješivi. Zbog toga sam se cijeli posljednji razred srednje pripremala za ispit.” Uprkos tome, mislila je da neće proći. “Iz nekih razloga nisu saznali da sam Jevrejka.” Priča da je u dokumentima stajalo da je Ukrajinka.
Primili su je i šesnaestogodišnja djevojčica iskoristila je sve dostupne obrazovne usluge, “nevjerovatna predavanja i seminare”. “Istinski sam se zaljubila u matematiku i nikad se više nisam osvrtala na prošlost. Sjećam se da sam na drugoj godini fakulteta pomislila da ne mogu zamisliti da studiram bilo šta drugo osim matematike.”
Godinama kasnije, zahvaljujući akademskoj prilici koja se pružila njenom mužu, fizičkom hemičaru, otišli su u Sjedinjene Države. Našla je privremeni posao kao profesorica s nepunim radnim vremenom na Kalifornijskom univerzitetu u Irvineu, te nastavila sa svojim istraživanjima. Trenutno je profesorica u ovoj instituciji, a nedavno je imenovana i za profesoricu na Tehnološkom institutu Georgia.
Matematička fizika
Istraživačica objašnjava da je njeno područje, između ostalog, usredotočeno na to da isproba pretpostavke koje smišljaju fizičari, “ideje za koje se odavno zna”. Ali ide se i u suprotnom smjeru, “ponekad osporavamo njihove teze, dokazujemo da su pogriješili, gradeći katkad nova predviđanja u vezi s fizičkim modelima. To je dosta uzbudljivo zato što se ponekad upostavljaju spone sa stvarnim životom, ali ne uvijek. Konkretnije, radim na području kvaziperiodičkih operatora.” Ovo ima veze sa kvantnom mehanikom, a “problem deset martinija” dio je te fascinantne oblasti.
Od devedesetih godina, Žitomirskaja je radila na različitim aspektima te pretpostavke, sklopila je mnoge “dijelove slagaljke” i objavila rezultate. 2003. španski matematičar Joaquim Puig “napravio je ključni iskorak u rješavanju tog problema”. Štaviše, u svom istraživanju citirao je njen rad.
“Dokučio je nešto vrlo lijepo. To se činilo kao mala dopuna mom pređašnjem radu, a zapravo se radilo o briljatnoj opservaciji i bila sam malo ljuta na sebe što nisam vidjela taj put prema problemu”.
“Svi parametri”
Nepunu godinu kasnije, kontaktirao ju je jedan “vrlo mlad” brazilski matematičar (godinama poslije, 2014, taj mladić će dobiti Fieldsovu medalju, koja je poznata i kao Nobelova nagrada za matematiku). “Artur Ávila mi je napisao da me želi posjetiti kako bismo radili na tom problemu. Njegovo ime mi je već bilo poznato pošto je objavio par izvrsnih članaka.” Žitomirskaja se prisjeća njegovih riječi: “problem nije potpuno riješen dok god ne dešifruješ sve parametre”.
Ávila joj je spomenuo da je ona u jednom od svojih članaka natuknula da može dobiti drugačiji rezultat za “preostale parametre. I rekao mi je da ćemo, ako to stvarno mogu uraditi, u potpunosti odgonetnuti problem. Rekla sam mu da je to izvodivo, ali da će biti jako teško s tehničke strane, a uzeće nam i mnogo vremena.” Ali Ávila je bio ubjedljiv.
Kada su počeli da rade na tom “tako tehnički teškom postupku dokazivanja”, postali su svjesni da moraju “izmisliti druga sredstva”. I u tom procesu, razvili su nove alatke, tehnike i pristupe kojima se poznavaoci dive. Dokazali su pretpostavku, da bi 2009. objavili rezultat u prestižnom časopisu Annals of Mathematics.
O kakvom je problemu riječ?
Daniel Peralta je istraživač specijaliziran za dinamičke sisteme na Institutu matematičkih nauka u okviru Španskog nacionalnog istraživačkog vijeća. Poznaje rad Svetlane Žitomirskaje, s kojom se susreće na raznim kongresima. “Uvijek je jako prijatno razgovarati s njom i slušati njene prezentacije”, kaže za BBC Mundo.
Sjeća se, naime, jednog predavanja u Kini, kada je matematičarka pokazala Hofstadterovog leptira, koji predstavlja spektar operatora koje ona proučava. Ti operatori se, objašnjava Peralta, pojavljuju u izvjesnim modelima koji nastoje opisati fizikalne fenomene kvantnog tipa. “Schrödingerovi operatori se ukazuju u mnogim kvantnomehaničkim kontekstima, a Žitomirskaja je uglavnom istraživala one koji se javljaju u kontekstu kretanja elektrona izloženih magnetnim poljima okomitim na dinamiku elektrona.” Poznati su kao Mathieuovi kvaziperiodički operatori.
“Općenito, kvantnomehanički operator je matematički objekt, matematičko pravilo, koje preuzima funkciju različitih vrijednosti, a isporučuje neku sasvim drugačiju funkciju.” Bit je, s fizikalne tačke gledišta, da se shvati spektar, odnosno da se vidi iza kojih funkcija, kada se operator primijeni na njih, stoji ista funkcija. U tome je, objašnjava istraživač, jedna od krupnih razlika (pored ostalih) između klasične i kvantne fizike. Na primjer, u načelu, u klasičnoj fizici brzina elektrona ili neke druge čestice može poprimiti bilo kakvu vrijednost. “Međutim, u kvantnoj mehanici ima mnogo objekata koji su kvantizirani, ne mogu poprimiti bilo kakvu vrijednost, već samo seriju diskretnih vrijednosti. Taj fenomen, zajedno s Heisenbergovim načelom neodređenosti (prema kojem određene veličine ne mogu biti precizno izmjerene), predstavlja glavnu razliku u odnosu na klasičnu fiziku.”
Dokaz
Šezdesetih godina fizičari su uvidjeli da vrijednosti koje može poprimiti taj tip operatora zavise od frekvencije, to jest da se spektar mijenja s promjenom parametara. “Primijetili su da, kada je frekvencija izražena u iracionalnim brojevima, spektar ima vrlo neobičnu strukturu, fraktalnu, i to je poznato pod nazivom Cantorov skup. To je izraženo na matematički način u načelu deset martinija.”
Problem je dokazati – što su fizičari već primijetili – da se, kada je frekvencija, to jest intenzitet magnetnog polja za taj tip operatora iracionalni broj, kao rezultat dobije spektar u vidu Cantorovog skupa. Od osamdesetih-devedesetih mnogi istraživači su radili na tom problemu. Puig je ostvario veliki napredak, ali “vrhunac svog tog rada, na kojem su godine potrošili toliki znanstvenici, je dokaz do kojeg su došli Ávila i Žitomirskaja”. “Oni dokazuju izvornu pretpostavku: za sve iracionalne frekvencije, spektar Mathieuovih kvaziperiodičkih operatora je Cantorov skup. Tako je konačno riješen ‘problem deset martinija’”.